数学方程有什么好解的？( 二 ) _多项式

如果有好几个含有几个未知数的方程，把它们看成含有一个未知的东西的一个方程，在观念上会简单一些。这听起来完全不可能，但是，如果允许这个未知的东西是一种更复杂的对象，却是完全可能的。例如3x＋2y=14和5x＋3y=22这两个方程可以写成单个含有矩阵和向量的方程

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如果用A表示上面的矩阵，x表示未知的向量，b表示已知的向量，则这个方程变为Ax=b，它看起来要简单多了，尽管在事实上只是把复杂性隐藏在符号里面了。
然而这个过程可不只是“把垃圾扫到地毯下面藏起来”，而是还有更多的东西。一方面，简单的符号固然掩盖了这个问题的许多特定的细节，另一方面却也把一些本来看不出来的东西揭示出来了：有一个从R^2到R^2的线性映射，想要知道的是哪一个向量 x 被映为向量 b（如果有这样的向量的话）。如果遇到的是一个特定的联立方程组的话，这并有太的区别，我们需要做的计算还是一样的。但是如果希望作一般的推理，那么含有单个未知向量的矩阵方程就比含有几个未知数的联立的方程组要容易考虑得多。这个现象会出现在整个数学中，而且是研究高维空间的主要方法。
多项式方程
我们刚才讨论了线性方程从一个未知数到多个未知数的推广。推广它们的另一个方向是把线性方程看成是1次多项式，而考虑更高次数的函数。例如在中学里，我们就学习过怎样解诸如

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这样的二次方程式。更一般的多项式方程形如

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解这样的方程，就是求x的值满足这个方程。这似乎是一件很显然的事，但是在遇到简单如

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这样的方程的时候，就并不如此显然。这个方程的解是

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那么，什么是根号2呢？它的定义就是平方以后等于2的正数。但是说x等于正的或负的且平方以后为2的数，似乎还没有把这个方程“解”出来。即使说x=1.4142135…也不能完全令人满意，因为这只是把一个没有尽头的式子写出了开头一小段，而且也看不出来这个式子里有什么可以辨别出来的模式。
从这个例子可以得到两个简介：
虽然当我们说

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并没有让我们学到什么，但是这个论断中确实包含了一个事实∶2有平方根。这一点通常是作为所谓中间值定理的推论而提出的。这个定理指出，若f是一个连续的实值函数，而f（a）和f（b）各在零的一侧，则在 a ， b之间的某处，一定有一个实数c使得f（c）=0 。这个结果可以用于函数f（x）=x^2-2，因为f（1）=-1，而f（2）=2 。所以在1，2之间一定有一个x 使得x^2-2=0 。对于许多目的，知道这个x的存在，再加上知道定义这个x的性质使它为正且平方以后为2，这就足够了。
用类似的论证，就知道所有的正实数都有正平方根。但是当我们试图解更加复杂的二次方程时，情况就不一样了。这时有两条途径可供选择。例如考虑方程