数学方程有什么好解的？( 四 ) _多项式

想找一个计算机程序使得在输入任意的丢番图方程后，如果这个方程有解，它就一定会输出“YES”，无解的时候就一定会输出“NO”，而且从不出错，这是做不到的。

关于丢番图方程，这告诉了我们什么呢？我们再也不能梦想会有一个囊括所有这种方程的最终的理论，相反，我们被迫集中注意于这种方程的特殊的类别，并且对它们发展不同的解法。如果不是因为丢番图方程与数学的其他部分的很一般的方程有值得注意的联系，这似乎会使得在解决了最初几个方程以后，丢番图方程就没有趣味了。
例如方程

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看起来很特殊，事实上，它所定义的椭圆曲线却是现代数论（包括费马大定理的证明）的中心问题。当然费马大定理本身也是一个丢番图方程，但它的研究又导致了数论的其他部分的重大发展。应该得出的正确的结论可能是∶解一个特殊的丢番图方程，如果其结果不只是在已经解决的方程清单上再添加一个而已，那么，它是吸引人的，是值得去研究的。
微分方程

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迄今为止，我们考虑的方程都是以数或n维空间的一点为未知的东西的。要生成这样的方程，我们作算术的基本运算的不同组合，然后把它们施加到未知的东西上去。
下面给出两个著名的微分方程以便与过去讨论过的方程作比较∶

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第一个是“常”微分方程，是简谐运动方程，它有通解

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第二个是“偏”微分方程，是热方程。
有许多理由说明求解微分方程在精巧性上是一个飞跃。
现在回到第一个方程，

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这意味着微分方程可以看成是一个矩阵方程推广到无穷多维的情况。热方程也有同样的性质∶如果定义Ψ（T）为

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则Ψ是另一个线性映射。这种微分方程称为线性的，它们与线性代数明显的联系使得它们容易求解得多，这方面一个有用的工具是傅里叶变换。
那些更加典型的方程，即不能用封闭形式解出的方程又如何？那时，焦点就又一次转移到是否有解存在？如果有，它们又有哪些性质？和多项式方程一样，这要依赖于把什么当成是可以允许的解。有时，我们就像又处在研究方程x^2=2时的境地∶证明解的存在并不难，只需要给它取一个名字就行了。方程

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就是一个简单的例子。在某种意义下，它是不能解出来的，可以证明，找不到一个由多项式、指数函数、三角函数等的"基本的"函数构建出来而微分以后又会得到e^（-x2）的函数。然而在另一种意义下，这个方程又很容易求解，只需要把函数e^（-x2）积分一下就行了，所得到的函数就是正态分布函数。这个函数在概率论里面有基本的重要性，所以就给了它一个名字（记号）：