数学方程有什么好解的？( 三 ) _多项式

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就会得到两个解，这比利用中间值定理得到的信息要更多。我们已经证明了根号2的存在，而且知道其值在1和2之间。现在不仅是知道了方程x^2-6x＋7=0有一个解在4和5之间，而且还知道了这个解与方程x^2=2的解有密切的关系，甚至可以说，这个解正是从方程x^2=2的解构造出来的。
这就证明了求解方程还有第二个重要的方面，那就是在许多情况下，解的显式的可解性是一个相对的概念。只要给了方程x^2=2的一个解，在求解比较复杂的方程x^2-6x＋7=0时，就不再需要从中间值定理得到什么新的输入，需要的就仅仅是一点代数而已。

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但是这个表达式里的根号2 就不是由一个显式公式来定义，而是作为一个实数而定义的。这个实数有一些性质，而我们可以证明其存在。
解更高次的多项式方程比解二次方程要难得多，而且由此产生了许多吸引人的问题。特别是，求解三次或四次方程有复杂的公式，但是几百年来求解五次以及更高次的方程就一直是一个未解决的著名问题，直到19世纪，阿贝尔和伽罗瓦才证明了显式解的公式是找不到的。
多变元的多项式方程
设有这样的方程

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我们可以看出来它有许多解∶如果固定x和y，就得到一个z的三次多项式方程，所有的三次多项式方程都有（至少一个）实解，所以对于每一个固定的x和y，都有某个 z 使得三元组（x ， y，z）成为这个方程的解。
因为三次方程解的公式十分复杂，准确地描述所有这些三元组（x ， y，z）的集合就没有什么意义。但是，若把解的这个集合看成一个几何对象，即空间里的一个2维曲面，并且考虑一些关于它的定性的问题，就可以从中学到不少东西。例如我们可能希望了解其大体的性质如何，用拓扑学的语言，可以把这些问题说清楚。
当然还可以进一步推广来考虑几个多项式方程的同时求解。理解这些方程组的解集合属于代数几何的领域。
丢番图方程
一个特定的方程是否有解，需视允许在何处求解而异。如果只允许x为实数，则方程x^x＋3=0就没有解，但是在复数里，它就有两个解。方程x^2＋y^2=11有无穷多个解，但是如果求x和y都是整数，这个方程就没有解。
上面的例子是典型的丢番图方程，凡见到这个名词就表示要求它的整数解。最著名的丢番图方程就是费马方程

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感谢怀尔斯的工作，现在已经知道当n大于2时，它没有正整数解，与此形成对照，方程x^2＋y^2=z^2却有无穷多个整数解。现代的代数数理论的很大一部分都是在直接或者间接地讨论丢番图方程。正如对于实数或复数的方程一样，讨论丢番图方程解的集合的结构是富有成果的，这类研究属于算术几何的领域。
丢番图方程的一个值得注意的特点是它们极为困难。所以自然地会怀疑，对于它们是否可能有一个系统的处理方法，这是希尔伯特在1900年提出的著名问题清单中的第10个问题。但是一直到1970年Yuri Matiyasevich才指出，这个问题的回答是否定的。
这个问题的解决，重要的一步是在1936年由丘奇和图灵做出的。只是通过（以两种不同的方法）把算法概念形式化，从而把“系统地处理”这个概念弄清楚以后，才走出了这一步。在计算机时代以前，这是不容易的，但是我们现在却可以把希尔伯特第10问题的解决重述如下∶