陶哲轩：用数独和俄罗斯方块游戏找反例，推翻周期性平铺猜想( 二 ) _拼图

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部分王浩瓷砖。来自Parcly Taxel
四年后，一种似乎更高级的方案出现了：非周期性平铺。它虽然也是很多块瓷砖拼接在一起，密密麻麻地铺满整个地板，但其拼接的图案永不重复，即使铺满整个世界也不重复。1964年，王浩的学生Robert Berger提出最早的非周期性平铺方案，需要20426块瓷砖组合。

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用“王砖”进行的一种非周期性平铺。来自Claudio Rocchini

随后，英国数学物理学家、牛津大学数学系名誉教授罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）把需要的瓷砖组合减少到5种，最后只用2种形状的瓷砖组合，比如一大一小两个菱形，就可以在二维平面上实现非周期性平铺。这种瓷砖被称为彭罗斯瓷砖。它成为数学艺术的象征之一，被铺在牛津大学数学系等知名大学相关建筑物的地板上。相关平铺样式被称为彭罗斯平铺，或彭罗斯镶嵌、彭罗斯密铺、彭罗斯拼图、彭罗斯几何拼图等。
平面上的非周期图案具有一个奇特的性质，排布位置的信息似乎能够通过某种方式跨过很大距离进行传递，防止数百（甚至数千、数百万）块之外的瓷砖出现某种排列类型。阿肯色大学助理教授埃蒙德·哈里斯（Edmund Harriss）的博士论文主题就是彭罗斯贴砖。他说：“局部约束鬼使神差地拓展为全局约束。”
而彭罗斯瓷砖不只在数学界很有名，在建筑装潢领域甚至材料科学领域也成功圈粉，给人们带来新的启示。

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彭罗斯瓷砖或拼图的样式之一。来自Taktaal
1982年，在美国正进行学术休假的以色列材料科学家丹·谢特曼（Dan Shechtman），在实验室里观察到合金的奇特衍射图样，不符合此前人们关于晶体的印象，缺乏标准的对称。它们原子排列的样子，跟彭罗斯地砖拼接的图案一样，是非重复、非周期性的。他后来称之为“准晶体”（quasicrystal）。

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丹·谢特曼拍摄到的电子衍射图片。截图自Phys. Rev. Lett. Vol. 53(20),1984
丹·谢特曼的论文和他的发现引起了极大的争议和攻击。直到20多年后，2011年，他因“发现准晶体”，被授予诺贝尔化学奖。

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准晶体的电子衍射图片。来自nobelprize.org

此外，彭罗斯也是诺贝尔奖得主之一。
1965年1月18日，彭罗斯在《物理评论快报》（Physical Review Letters）发表论文，阐述了彭罗斯奇点定理。斯蒂芬·霍金（Stephen Hawking）与彭罗斯一起研究奇点后，以彭罗斯定理颠覆了有关宇宙起源的理论。奇点后来被人们熟知，称为“黑洞” 。
2020年，89岁的彭罗斯被授予诺贝尔物理学奖，表彰他“发现黑洞的形成是对广义相对论的有力预测” 。他独享一半奖金，与“在银河系的中心发现了一个超大质量致密天体”的德国科学家赖因哈德·根策尔（Reinhard Genzel）和美国科学家安德烈娅·盖兹（Andrea Ghez）分享了2020年的诺贝尔物理学奖。
但问题是，一直没人用一块瓷砖完成非周期平铺“游戏” 。直到最近，陶哲轩和合作者在超高维空间找到一块这样奇特的“瓷砖” 。
用数独、俄罗斯方块游戏寻找一个反例
寻找非周期性平铺方案和相关瓷砖的过程，如同打碎一个花瓶然后再复原它。不过，研究者希望花瓶碎裂后形成的是均匀的碎片，且破碎的纹理是“非周期性的” 。