陶哲轩：用数独和俄罗斯方块游戏找反例，推翻周期性平铺猜想 _拼图

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·寻找非周期性平铺方案和相关瓷砖的过程，如同打碎一个花瓶然后再复原它。不过，研究者希望花瓶碎裂后形成的是均匀的碎片，且破碎的纹理是“非周期性的” 。这样的瓷砖即使铺满全世界，拼接图案也不会重复。

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华裔数学家、菲尔兹奖得主、美国加州大学洛杉矶分校数学系教授陶哲轩（Terence Tao）
能否寻找到一块这样的瓷砖，即使用它铺满全世界，其拼接图案也永不重复？
近日，数学界的“莫扎特”、华裔数学家、菲尔兹奖得主、美国加州大学洛杉矶分校数学系教授陶哲轩（Terence Tao）在个人博客上宣布，推翻了“周期性平铺猜想” 。
他们在超高维空间中找到一块这样的“瓷砖” 。
预印本网站arXiv显示，陶哲轩与合作者合著的相关论文于2022年11月29日凌晨上传。
但实际上，陶哲轩提前了两个多月就在其博客上宣布了上述消息；并在9月18日凌晨，他们向arXiv网站提交了一篇缩略的“公告”论文——announcement，全文共13页。
而完整版论文共48页。论文标题是《周期性平铺猜想的一个反例》（A counterexample to the periodic tiling conjecture）。
该论文的合著者是原美国加州大学洛杉矶分校数学系Hedrick助理教授、现美国普林斯顿高等研究院数学学院成员雷切尔·格林菲尔德（Rachel Greenfeld）。她是陶哲轩的博士后。
诺贝尔奖和永不重复的拼图
什么是周期性平铺猜想？
设想用相同大小的正方形瓷砖，去铺满一个方方正正房间的地面，这似乎难度不大。人们只要像“复制黏贴”一样，不留空隙地将一块块大小合适的瓷砖平铺下去就行。在这样的地板上，图案的周期性显而易见：如果你将部分图案平移到另一个位置，就跟没有移动过一样。
这或许是最容易的“施工方案”之一，被称为周期性平铺。

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周期性平铺和非周期性平铺产生的不同效果。截图来自《Aperiodic Texture Mapping》

六年前，2016年2月18日，来自印度孟买塔塔基础研究所数学院的数学家悉达多·巴塔查里亚（Siddhartha Bhattacharya）在arXiv网站上传预印本论文“Periodicity and decidability of tilings of ?^2”，宣布其在二维平面上证明了“周期平铺猜想”——通过平移，单个瓷砖在平面上只能进行周期性平铺，无法进行非周期性平铺。
数学家们推测，在二维以上更高维度上，也不存在用同一种就实现非周期性平铺的瓷砖。这一假设被称为“周期性平铺猜想” 。
换句话说， “周期性平铺猜想”断言，如果只能以平移的方式平铺或填充，那么在任意维度上（二维及以上），不存在一块能以非周期性的方式铺满整个表面或填充整个空间的特殊瓷砖。即使设计出来这样一块瓷砖，那么它也只能以周期性的方式平铺或填满相应的空间。
但“周期性平铺猜想”似乎只在二维平面上成立。

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彭罗斯瓷砖样式之一。截图自Eureka 39(1978) 16-32
【陶哲轩：用数独和俄罗斯方块游戏找反例，推翻周期性平铺猜想】早在六十年前，1960年左右，在牛津大学任教的华裔数学家王浩在对美国新泽西州的贝尔电话实验室进行学术访问期间，研究了周期性平铺问题，并提出“王砖”（或王氏砖、王浩瓷砖，aka Wang squares）模型。