陶哲轩：用数独和俄罗斯方块游戏找反例，推翻周期性平铺猜想( 三 ) _拼图

从在二维平面“拼图”到更高维空间里“堆积木”，陶哲轩希望找到一块能够实现非周期性地堆叠的单一“瓷砖” 。

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立方形密铺。来自Tomruen

在解释其最新证明策略和方法的博客文章中，陶哲轩提到数独和俄罗斯方块游戏，还有电脑编程。
在印度数学家悉达多·巴塔查里亚证明“周期平铺猜想”在二维平面上成立后，三年后，2019年，格林菲尔德以博士后身份来到加州大学洛杉矶分校。随后，她和陶哲轩用不同于悉达多·巴塔查里亚的另一种方法，再次证明了二维平面中的“周期平铺猜想” 。
但是，当他们想推进到在三维空间中也证明这一猜想时，碰壁了。陶哲轩说，无法在更高维度上证明这个猜想也许是有原因的，应该开始寻找反例。
2021年8月，他们第一次接近目标：他们在超高维空间找到了两块可以实现非周期性填充的瓷砖，但不是一块。
2021年8月17日，格林菲尔德在arXiv网站上传她和陶哲轩共同署名的论文，标题是“Undecidable translational tilings with only two tiles, or one nonabelian tile” 。六天后，她上传了更新版。
“2非常接近了，但还不够。” 格林菲尔德说。

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像“俄罗斯方块游戏”一样消行。截图自陶哲轩2022年9月19日的博客文章

2022年9月19日，陶哲轩在其博客文章中表示，“格林菲尔德和我刚刚将我们的公告——‘周期性平铺猜想的反例’上传到 arXiv 。这是我们目前正在撰写（并希望在几周内发布）的一篇更长的论文的公告。其中，我们推翻了 Grünbaum-Shephard 和 Lagarias-Wang 的周期性平铺猜想。”
在上述博客文章中，陶哲轩写道，他们创建了一种“平铺语言”（“tiling language”），使用平铺方程组来描述非周期函数。“这个证明，让人强烈地联想到解决数独谜题所需的推理类型，因此，我们在论点中采用了一些类似数独的术语来提供直觉和视觉效果。一个关键步骤是，对拼图进行剪切变换……然后执行消除常量行的‘俄罗斯方块’移动以得出次级数独谜题，然后依次分析该谜题。正是这个过程的迭代最终生成了非周期性p-adic结构。”
在其两个月后、11月29日的博客文章中，陶哲轩写道：“格林菲尔德和我刚刚将论文上传到 arXiv 。这是我几个月前在这个博客上公布的结果的完整版本……这篇论文完成的时间比预期的要长一些，这是由于我们在发布公告时没有意识到的一个技术问题需要个解决方法。”
陶哲轩进一步解释说，如公告中所述，最初的策略是构建一种“平铺语言”——一种能够用来编码“P进数数独谜题”（P-adic Sudoku puzzle）的语言；然后证明如果P是一个足够大的素数，那么后一种类型的谜题只有非周期性的解决方案。“事实证明，该策略的后半部分成功了。”“在编程过程中，我们还发现，一旦引入‘可表达属性’和‘弱表达属性’两个新定义，证明的编码部分将变得更加模块化和概念化。”
陶哲轩和格林菲尔德将他们的方程式系统看作一个计算机程序：每一行代码或方程式都是一个命令，这些命令组合起来可以生成一个实现特定目标的程序。
最终，他们在一个非常高维度的空间中，尚未被详细计算，但大约2^100^100维里，找到一块目标“瓷砖”——一块非常复杂、弯弯曲曲、充满孔洞的“瓷砖” 。
此外，陶哲轩表示，使用他们最新创造的“语言”应该能创造一个无法判定的谜题。“（比如）可能存在一些瓷砖，我们永远也无法证明，它是否能铺满它所在的空间。”